Giải tích Ví dụ

$y = e^{m x} \cos (n x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{m x}$ và $g (x) = \cos (n x)$ .

$e^{m x} \frac{d}{d x} [\cos (n x)] + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = n x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $n x$ .

$e^{m x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$e^{m x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $n x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $n$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $n x$ đối với $x$ là $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \cdot 1)) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 3.3

Nhân $n$ với $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = m x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [m x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [m x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} \frac{d}{d x} [m x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $m$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $m x$ đối với $x$ là $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \cdot 1))$

Bước 5.3

Nhân $m$ với $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} m)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$ .

$- n e^{m x} \sin (n x) + m e^{m x} \cos (n x)$