Giải tích Ví dụ

$y = e^{5 x \sin (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x \sin (x)$ .

$e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x \sin (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{5 x \sin (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 2.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x \sin (x)}$ .

$5 \cdot e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Bước 5.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x))$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 e^{5 x \sin (x)} x \cos (x) + 5 e^{5 x \sin (x)} \sin (x)$