Giải tích Ví dụ

$y = e^{x \sqrt{9 x - 11}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{9 x - 11}$ ở dạng ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 9 x - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $9 x - 11$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 x - 11$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.3

Di chuyển ${(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x - 11] + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x - 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Nhân $9$ với $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14

Vì $- 11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 11$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 + 0) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $9$ và $0$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 9 + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ và $9$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 9}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 \cdot x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Bước 17

Nhân ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 18

Để viết ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 19

Kết hợp ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Nhân ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Di chuyển ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.4

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.5

Chia $2$ cho $2$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn ${(9 x - 11)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + (9 x - 11) \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $9 x - 11$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + 2 \cdot (9 x - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23

Kết hợp $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{9 x + 2 (9 x - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 2 (9 x - 11))}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.1

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 18 x + 2 \cdot - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.1.2

Nhân $2$ với $- 11$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 18 x - 22)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.2

Cộng $9 x$ và $18 x$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x - 22)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.5

Di chuyển $- 22$ sang phía bên trái của $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 \cdot e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{27 x e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4

Đưa $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.4.1

Di chuyển $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{27 x e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4.2

Đưa $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $27 x e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4.3

Đưa $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $- 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4.4

Đưa $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x - 22)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$