Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sec (2 x)$ và $g (x) = 1 + \tan (2 x)$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \tan (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 3.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 5

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 7

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \cdot 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 11

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 \sec (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.1.2

Nhân $2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.2.1

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.1.2.2

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.2

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.2.2

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.2.3

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $- 2 \sec^{3} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.2.4

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.2.5

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.3

Sắp xếp lại $\tan^{2} (2 x)$ và $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) - \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.4.10

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.5

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.5.2

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $- 2 \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Bước 12.5.3

Đưa $2 \sec (2 x)$ ra ngoài $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$