Giải tích Ví dụ

$y = \sec^{2} (\sqrt{x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Nâng $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 5

Nâng $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1} (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 15

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 16

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ và $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 17

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ và $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 18

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 18.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$