Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Bước 3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 4.2

Cộng $2 \cos (x) \sin (x)$ và $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x)$