Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{2} (e^{3 x + 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (e^{3 x + 1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (e^{3 x + 1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (e^{3 x + 1})$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = e^{3 x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{3 x + 1}$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{3 x + 1}$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 x + 1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 x + 1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 4.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 4.4

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + 0))$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \cdot 3)$

Bước 4.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x + 1}$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (3 \cdot e^{3 x + 1})$

Bước 4.6.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$

Bước 4.6.4

Sắp xếp lại các thừa số của $6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$ .

$6 e^{3 x + 1} \cos (e^{3 x + 1}) \sin (e^{3 x + 1})$