Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\ln (4 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \ln (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (4 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{4 x}$ với $\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)}$ .

$\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))}$ .

$\frac{4}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))} \cdot 1$

Bước 3.5

Nhân $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))}$ với $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (4 x)}$

Bước 4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (4 x)}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x \ln^{2} (4 x) + x}$

Bước 4.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln^{2} (4 x) + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x}$

Bước 4.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x^{1}}$

Bước 4.4.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x \cdot 1}$

Bước 4.4.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (\ln^{2} (4 x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x) + 1)}$