Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\sqrt{3 x})$

Bước 1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 x}$ ở dạng ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Kết hợp $3^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 10

Nhân $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Bước 11.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.2

Nhân các số mũ trong ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.3

Tính số mũ.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.5

Rút gọn.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.6

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.4.7

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.7.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Bước 12.4.7.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Bước 12.4.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 12.4.7.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 12.4.7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 12.4.7.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Đưa $2 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $6 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1.1

Đưa $2 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.6.1.2

Đưa $2 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

Bước 12.6.1.3

Đưa $2 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Bước 12.6.2

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{1} + 1)}$

Bước 12.6.3

Rút gọn.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x + 1)}$