Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 3}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{x}{x + 3}}$ ở dạng ${(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{x}{x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.2

Nhân $x + 3$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.6.4

Cộng $0$ và $3$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.6.5

Nhân $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{{(x + 3)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.6.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + 3}{x}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}}$ với $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.2

Di chuyển ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3

Nhân ${(x + 3)}^{2}$ với ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Di chuyển ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3.3.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$