Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{x}{a}}$ ở dạng ${(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{x}{a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x}{a}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{a}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.3

Vì $\frac{1}{a}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{a}$ đối với $x$ là $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.10

Nhân $\frac{1}{a}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.11

Nhân $\frac{1}{a}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{a \cdot 2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 2.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{a}{x}}$ ở dạng ${(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{a}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Bước 3.3

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{a}{x}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

Bước 3.11

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{a}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{a}{2}$ và $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a x^{- 2}}{2})$

Bước 3.13

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.2

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $\frac{1}{2 a}$ với $\frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 a x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.2

Di chuyển $a^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 a x^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.3

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Di chuyển $a^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.3.2

Nhân $a^{- \frac{1}{2}}$ với $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a^{1}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 a^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.3.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

Bước 4.5.4

Nhân $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{a}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{a^{\frac{1}{2}} (2 x^{2})}$

Bước 4.5.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{2 \cdot a^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 4.5.6

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 4.5.7

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.7.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

Bước 4.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Bước 4.5.7.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Bước 4.5.7.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 4.5.7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 4.5.7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.7.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Bước 4.5.7.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.8

Di chuyển $a^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.9

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.9.1

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.9.1.1

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.9.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.9.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.9.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$