Giải tích Ví dụ

$y = x^{2 \cos (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{2 \cos (x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{2 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cos (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{2 \cos (x)})$ bằng cách di chuyển $2 \cos (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cos (x) \ln (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 \cos (x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x) \ln (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{2 \cos (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 \cos (x) \ln (x)}$ .

$2 \cdot e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 6

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 7

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Bước 8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{\cos (x)}{x}$ và $2$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cos (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{\cos (x) \cdot 2}{x}$ và $e^{2 \cos (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Bước 8.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

Bước 8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{2 \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x}$