Giải tích Ví dụ

$y = x e^{- x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Bước 9

Nhân $e^{- x^{2}}$ với $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Bước 10.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$