Giải tích Ví dụ

$y = x e^{3 x - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{3 x - 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x - 1}] + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 1$ .

$x (e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (e^{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 + 0)) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$x (e^{3 x - 1} \cdot 3) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x - 1}$ .

$x (3 \cdot e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \cdot 1$

Bước 3.8

Nhân $e^{3 x - 1}$ với $1$ .

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$ .

$3 x e^{3 x - 1} + e^{3 x - 1}$