Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} e^{5 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{5 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$x^{2} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$x^{2} (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$x^{2} (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 e^{5 x} x^{2} + 2 e^{5 x} x$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $5 e^{5 x} x^{2} + 2 e^{5 x} x$ .

$5 x^{2} e^{5 x} + 2 x e^{5 x}$