Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$ ở dạng ${(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ và $g (x) = \frac{x + 2}{x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + 2}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 2}{x + 3}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 6.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 2$ và $g (x) = x + 3$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.4.2

Nhân $x + 3$ với $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 9.8.3

Nhân $\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ với $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} \cdot 8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

Bước 9.8.4

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{\frac{7}{8}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + 3}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x + 3 - x - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 + 3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.3

Cộng $0$ và $3$ .

$\frac{3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.5

Nhân $\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}}$ với $\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.6

Di chuyển ${(x + 3)}^{\frac{7}{8}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}} {(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7

Nhân ${(x + 3)}^{2}$ với ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.7.1

Di chuyển ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$\frac{1}{8 ({(x + 3)}^{- \frac{7}{8}} {(x + 3)}^{2}) {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7.4

Kết hợp $2$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.7.6.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 16}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10.4.7.6.2

Cộng $- 7$ và $16$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{9}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$