Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\sec (3 x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\sec (3 x)}$ ở dạng ${\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \sec (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 7.3

Di chuyển ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\sec (3 x)$ và $\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 9.2

Kết hợp $\tan (3 x)$ và $\frac{\sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 9.3

Di chuyển ${\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10

Nhân $\sec (3 x)$ với ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (3 x) ({\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (3 x))}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.2

Nhân ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ với $\sec (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $\sec (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\tan (3 x) ({\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (3 x))}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 11

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Kết hợp $3$ và $\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 14.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (3 x)}{2}$