Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{x^{3}}{3}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.6

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.7.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 2.7.2.5

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{3}}{9}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

Bước 3.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{- 3}{9}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

Bước 3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{\ln (x)}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{3 \ln (x)}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.4.2

Chia $\ln (x) x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.5

Để viết $\frac{1}{3} x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.6

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{2}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 4.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Bước 4.2.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Bước 4.2.9

Kết hợp $\frac{x^{2}}{3}$ và $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

Bước 4.2.10

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Bước 4.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Bước 4.2.11.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

Bước 4.2.12

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

Bước 4.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

Bước 4.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Bước 4.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Bước 4.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

Bước 4.2.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\ln (x) x^{2} + 0$

Bước 4.2.14

Cộng $\ln (x) x^{2}$ và $0$ .

$\ln (x) x^{2}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln (x) x^{2}$ .

$x^{2} \ln (x)$