Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 1.3

Viết lại $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ và $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7.2

Kết hợp ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 17

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.4

Nhân $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.5.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.5.1.4

Viết lại $- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ ở dạng $- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{- (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.7

Nhân $- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.7.1

Nhân $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ với $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 18.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{2}}}$