Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 x^{2} + 3}{\cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x^{2} + 3$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\cos (x) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\cos (x) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.6

Cộng $4 x$ và $0$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) + 1 (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4.2

Nhân $2 x^{2} + 3$ với $1$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) + (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) (4 x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)$ .

$\frac{4 x \cos (x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$