Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (1 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $2 e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Đưa $2 e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.1.2

Đưa $2 e^{x}$ ra ngoài $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.1.3

Đưa $2 e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.1.4

Đưa $2 e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.1.5

Đưa $2 e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 5.5.2.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.5.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{2 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$