Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 x^{4} - 3 x}{4 x - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x^{4} - 3 x$ và $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3 x] - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{4} - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{4}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \cdot 1) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.11

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.12

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 2.13.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4} - 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Khai triển $(4 x - 1) (8 x^{3} - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x (8 x^{3} - 3) - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 \cdot 8 x \cdot x^{3} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.2.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x^{1}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \cdot 8 x^{3 + 1} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2.3

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.3

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{32 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.4

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.5

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.6

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.1.4

Nhân $- 3$ với $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng $- 12 x$ và $12 x$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 0}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Cộng $32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}$ và $0$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Trừ $8 x^{4}$ khỏi $32 x^{4}$ .

$\frac{24 x^{4} - 8 x^{3} + 3}{{(4 x - 1)}^{2}}$