Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x + 6)$ và $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{x + 6}$ và $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.4

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + 0) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \cdot 1 - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.5.2

Nhân $\frac{x^{2}}{x + 6}$ với $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 6

Nhân $\frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ với $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$4 (\frac{x + 6}{x + 6} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp.

$4 \frac{(x + 6) (\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 7.3.2

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) (2 x))}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 9.2

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (x + 6)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.4

Nhân $6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 (\ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.4.2

Sắp xếp lại $\ln ({(x + 6)}^{2})$ và $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.4.3

Rút gọn $- 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2})$ bằng cách di chuyển $6$ trong logarit.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.5.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.5.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.5.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 6)}^{2})}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.5.2.2

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.7

Nhân $4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.7.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.7.2

Rút gọn $- 4 \ln ({(x + 6)}^{2})$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.8

Nhân $4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.8.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.8.2

Sắp xếp lại $\ln ({(x + 6)}^{12})$ và $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.8.3

Rút gọn $- 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12})$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.9.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.9.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 6)}^{2})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.9.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.9.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.9.3

Nhân các số mũ trong ${({(x + 6)}^{12})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.9.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{12 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.1.9.3.2

Nhân $12$ với $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.4

Nhân $x$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1} x^{4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1 + 4} + 6 x^{4}}$

Bước 10.4.2

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Bước 10.5

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Bước 10.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Bước 10.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Bước 10.5.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Bước 10.5.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Bước 10.6

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{5} + 6 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + 6 x^{4}}$

Bước 10.6.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $6 x^{4}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 6}$

Bước 10.6.3

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{4} x + x^{4} \cdot 6$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Bước 10.7

Khai triển $\ln ({(x + 6)}^{8})$ bằng cách di chuyển $8$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Bước 10.8

Khai triển $\ln ({(x + 6)}^{48})$ bằng cách di chuyển $48$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x^{4} (x + 6)}$

Bước 10.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} (x + 6)$ .

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Bước 10.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Bước 10.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 1 \cdot 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10.2

Nhân $- 1$ với $48$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 8 x \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 48 \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10.3.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Bước 10.10.3.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6) - 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$