Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5}{1 + e^{3 x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{1 + e^{3 x}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{1 + e^{3 x}}$ ở dạng ${(1 + e^{3 x})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{3 x})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + e^{3 x}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + e^{3 x}$ .

$5 (- {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 ({(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{3 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Nhân $3$ với $- 5$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \cdot 1)$

Bước 5.4

Nhân $e^{3 x}$ với $1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} e^{3 x}$

Bước 6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Bước 7

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Bước 7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Bước 7.3

Kết hợp $e^{3 x}$ và $\frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{3 x} \cdot 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$

Bước 7.4

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$- \frac{15 e^{3 x}}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$