Giải tích Ví dụ

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{49 + x^{2}}$ ở dạng ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Vì $42$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.3.2

Nhân các số mũ trong ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ và $g (x) = 49 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $49 + x^{2}$ .

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $49 + x^{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 8

Kết hợp ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $42$ .

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ và $- 42$ .

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Bước 11

Đưa $2$ ra ngoài $- 42$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Bước 13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Bước 14

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $49 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 15

Vì $49$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $49$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 16

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Bước 18

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 18.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 18.3

Nhân $- 2$ với $21$ .

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 18.4

Kết hợp $\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 18.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$