Giải tích Ví dụ

$y = 2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 2^{x}$ và $g (x) = \csc (2 x)$ .

$2^{x} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$2^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$2^{x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $1$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 2) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 3.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \sec (x) (- \sin (x))$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 \cdot 2^{x} \cot (2 x) \csc (2 x) + 2^{x} \csc (2 x) \ln (2) - \sec (x) \sin (x)$