Giải tích Ví dụ

$y = 3^{- \frac{1}{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 3^{x}$ và $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $3$ .

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{1}{x}$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) (x^{- 2} + 0)$

Bước 3.5.2

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) x^{- 2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $3^{- \frac{1}{x}} \ln (3) x^{- 2}$ .

$3^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (3)$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (3)$

Bước 4.3

Kết hợp $3^{- \frac{1}{x}}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (3)$

Bước 4.4

Kết hợp $\frac{3^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ và $\ln (3)$ .

$\frac{3^{- \frac{1}{x}} \ln (3)}{x^{2}}$