Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3 x^{4} + 9}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x^{4} + 9$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.5

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.6

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + 0) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.7

Cộng $12 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3}) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3.3

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$\frac{12 \cdot x^{5} - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{12 x^{5} - (3 x^{4} + 9) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4} + 9) x}{x^{4}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{12 x^{5} + (- 2 (3 x^{4}) - 2 \cdot 9) x}{x^{4}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4}) x - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x \cdot x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Bước 7.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x^{1} x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Bước 7.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{1 + 4}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Bước 7.3.1.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{5}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Bước 7.3.1.3

Nhân $- 2$ với $9$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Bước 7.3.2

Trừ $6 x^{5}$ khỏi $12 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Bước 7.4

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x^{5} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x^{5}$ .

$\frac{6 x (x^{4}) - 18 x}{x^{4}}$

Bước 7.4.2

Đưa $6 x$ ra ngoài $- 18 x$ .

$\frac{6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)}{x^{4}}$

Bước 7.4.3

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)$ .

$\frac{6 x (x^{4} - 3)}{x^{4}}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $6 x (x^{4} - 3)$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x^{4}}$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 7.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 7.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 (x^{4} - 3)}{x^{3}}$