Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3 x^{5} + 6}{x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x^{5} + 6$ và $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{5} + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{5}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.5

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.6

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + 0) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 2.7

Cộng $15 x^{4}$ và $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4}) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3

Nhân $x^{3}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3.3

Cộng $4$ và $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $x^{7}$ .

$\frac{15 \cdot x^{7} - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{15 x^{7} - (3 x^{5} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Bước 6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{15 x^{7} + (- 3 (3 x^{5}) - 3 \cdot 6) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5}) x^{2} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nhân $x^{5}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 (x^{2} x^{5})) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{2 + 5}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.3.1.1.3

Cộng $2$ và $5$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{7}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.3.1.3

Nhân $- 3$ với $6$ .

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.3.2

Trừ $9 x^{7}$ khỏi $15 x^{7}$ .

$\frac{6 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.4

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $6 x^{7} - 18 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $6 x^{7}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Bước 7.4.2

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $- 18 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Bước 7.4.3

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5} - 3)}{x^{6}}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $6 x^{2} (x^{5} - 3)$ .

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{6}}$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 7.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 7.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 (x^{5} - 3)}{x^{4}}$