Giải tích Ví dụ

$y = {\sin (x)}^{3 x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${\sin (x)}^{3 x}$ ở dạng $e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({\sin (x)}^{3 x})$ bằng cách di chuyển $3 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (\sin (x))}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x \ln (\sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x \ln (\sin (x))$ .

$e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x \ln (\sin (x))$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$ .

$e^{3 x \ln (\sin (x))} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x \ln (\sin (x))}$ .

$3 \cdot e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Bước 8.2

Nhân $\ln (\sin (x))$ với $1$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Bước 9.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$