Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{2 x}}{\sin (5 x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{2 x}$ và $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 5.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) \cdot 1)}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 5.4

Nhân $\cos (5 x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 6.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

$\frac{2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 6.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} \sin (5 x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 6.2.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

Bước 6.2.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x) - 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$