Giải tích Ví dụ

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{2} (x)$ và $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\log_{2} (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ và $g (x) = 2 x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 7

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Bước 8

Nhân $\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ .

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 9

Di chuyển ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ với ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Di chuyển ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 10.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 10.1.4

Cộng $- 3$ và $5$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 10.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 10.2

Rút gọn $2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 12

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 14

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 15

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

Bước 17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Bước 18.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Bước 18.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

Bước 18.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

Bước 18.5

Đưa $2 x \ln (2)$ ra ngoài $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Đưa $2 x \ln (2)$ ra ngoài $4 x^{2} \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

Bước 18.5.2

Đưa $2 x \ln (2)$ ra ngoài $- 2 x \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

Bước 18.5.3

Đưa $2 x \ln (2)$ ra ngoài $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Bước 18.6

Nhân $4 x - 1$ với $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Bước 18.7

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $4 x - 1$ .

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$