Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{3} - 1$ .

$\frac{(x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{3} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2} x^{2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 (x^{2} x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2 + 2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 3} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 2 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Trừ $3 x^{4}$ khỏi $2 x^{4}$ .

$\frac{- x^{4} - 2 x}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$