Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin^{2} (x)$ và $g (x) = x^{3}$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại $2 x^{3}$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

Bước 5.2.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

Bước 5.2.4

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\sin (x) \cdot 2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

Bước 5.2.5

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

Bước 5.2.6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$