Giải tích Ví dụ

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ và $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 5.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 6.3

Di chuyển ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 10

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 11

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + 0)$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $4 x$ và $0$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x)$

Bước 12.2

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Bước 12.3

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ và $x$ .

$\frac{12 x}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 12.5

Đưa $4$ ra ngoài $12 x$ .

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 (3 x)}{4 ({(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x}{{(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$