Giải tích Ví dụ

$y = {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $4$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{- 2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0)$

Bước 2.9

Cộng $12 x^{2} + 2 x^{- 3}$ và $0$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

Bước 3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}})$