Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 4$ và $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $3 - x^{2}$ với $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.7

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.9

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 1 (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.9.2

Nhân $x - 4$ với $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x - 4$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 2 \cdot (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.11.2

Kết hợp $\frac{3 - x^{2} + 2 (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ và $3$ .

$\frac{(3 - x^{2} + 2 (x - 4) x) \cdot 3}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

Bước 3.11.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 - x^{2} + 2 (x - 4) x$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 - x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.7

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.8

Nhân $2$ với $- 4$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.9

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.10

Cộng $- 3 x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.11

Nhân $\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ với $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 4.5.12

Nhân ${(3 - x^{2})}^{2}$ với ${(3 - x^{2})}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.12.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 2}}$

Bước 4.5.12.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (9 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 + 3 x^{2} - 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Bước 4.7.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 24 x$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Bước 4.7.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cdot 3 + 3 x^{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Bước 4.7.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 (3 + x^{2} - 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Bước 4.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Bước 4.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$