Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})$ bằng cách di chuyển $\ln (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2} + 1}$ và $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 5.5.3

Kết hợp $\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1}$ và $x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 6

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{1}{x})$

Bước 7

Kết hợp $\ln (x^{2} + 1)$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

Bước 8

Để viết $\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

Bước 9

Để viết $\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Bước 10

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x^{2} + 1) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ với $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Bước 10.2

Nhân $\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ với $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x^{2} + 1) x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{x (x^{2} + 1)} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

Bước 11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x \cdot x + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x^{1}) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{1 + 1} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 15

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 16

Kết hợp $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}$ và $\frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.2.1.3

Nhân $\ln (x^{2} + 1)$ với $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 17.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

Bước 17.3.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x \cdot 1}$

Bước 17.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$

Bước 17.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$