Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{1 + 2 x}{3 - 4 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + 2 x$ và $g (x) = 3 - 4 x$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(3 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 - 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (3 - 4 x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) \cdot 1 - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.12

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \cdot 1}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 2.14

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 8 x}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 - 8 x + 4 + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $- 8 x$ và $8 x$ .

$\frac{6 + 0 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Cộng $6$ và $0$ .

$\frac{6 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $6$ và $4$ .

$\frac{10}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{10}{{(- 4 x + 3)}^{2}}$