Giải tích Ví dụ

$\ln (x^{2}) + e^{2 x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (x^{2}) + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{2}{x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{2}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \cdot 2$

Bước 3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{2}{x} + 2 e^{2 x}$