Giải tích Ví dụ

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.5

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.8

Vì $135$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $135 x$ đối với $x$ là $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.10

Nhân $135$ với $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

Bước 2.12

Cộng $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ và $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ .

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.2

Nhân $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ với $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $12 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $135$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ và có tổng là $b = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $- 5$ cộng $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.3.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x - 5$ .

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.5

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.7

Viết lại $- (x + 5)$ ở dạng $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Bước 3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Bước 3.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Bước 3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $135 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

Bước 3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

Bước 3.13

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

Bước 3.14

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Bước 3.15

Viết lại $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ ở dạng $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Bước 3.16

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Bước 3.17

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$