Giải tích Ví dụ

$\ln (1 + 3 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.5

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{1 + 3 x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 3 x^{2}} (2 x)$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{1 + 3 x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 3 x^{2}} x$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{1 + 3 x^{2}} x$

Bước 2.7.3

Kết hợp $\frac{6}{1 + 3 x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

Bước 2.7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$