Giải tích Ví dụ

$\ln (1 + e^{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x}$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{x}}$ và $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$