Giải tích Ví dụ

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{e - x}{e}$ với $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Bước 3.2

Vì $e$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{e}{e - x}$ đối với $x$ là $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $e$ và $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Bước 3.3.2.2

Chia $e - x$ cho $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{1}{e - x}$ ở dạng ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = e - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Bước 5

Nâng $e - x$ lên lũy thừa $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Bước 7

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 9

Vì $e$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.2

Nhân ${(e - x)}^{- 1}$ với $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Bước 14

Nhân ${(e - x)}^{- 1}$ với $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{- x + e}$

Bước 15.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

Bước 15.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Bước 15.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

Bước 15.6

Viết lại $- (x - e)$ ở dạng $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Bước 15.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x - e}$