Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Bước 3

Nhân $\frac{x}{x^{2} - 7}$ với $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 7$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5.3

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

Bước 11.2

Nhân $\frac{x}{x^{2} - 7}$ với $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $x$ ra ngoài $(x^{2} - 7) x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

Bước 13.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Bước 13.3.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Bước 13.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

Bước 13.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

Bước 13.4.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

Bước 13.5

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

Bước 13.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 7 x$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

Bước 13.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$