Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (\arctan (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \arctan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\arctan (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\arctan (x)$ .

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{\arctan (x)}$ và $x$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{x}{\arctan (x)}$ với $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

Bước 5.3

Nhân $\ln (\arctan (x))$ với $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\arctan (x)$ với $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Bước 6.2.2

Để viết $\ln (\arctan (x))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Bước 6.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$