Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \ln (1 + x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1$

Bước 9

Nhân $\ln (1 + x^{2})$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2})$

Bước 10

Để viết $\ln (1 + x^{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 12.1.1.2

Nhân $\ln (1 + x^{2})$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 12.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + x^{2} \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$