Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Bước 2

Viết lại $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ sang $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Bước 6.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Bước 6.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Bước 6.5

Vì $\frac{π}{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{π}{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

Bước 6.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

Bước 6.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

Bước 6.6.3

Kết hợp $\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ và $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Viết lại $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.1.2

Viết lại $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

Bước 7.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Bước 7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ra ngoài $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Bước 7.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Bước 7.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Bước 7.1.5

Nhân $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ với $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Bước 7.1.6

Tách các phân số.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Bước 7.1.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ sang $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.1.8

Tách các phân số.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.1.9

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ sang $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.1.10

Chia $1^{2}$ cho $1$ .

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.1.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.1.12

Nhân $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ với $1$ .

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Bước 7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$