Giải tích Ví dụ

$y = (x^{5} + 3) \cdot e^{3 x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{5} + 3$ và $g (x) = e^{3 x^{2}}$ .

$(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}] + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$(x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x^{5} + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2}$ .

$(x^{5} + 3) (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 (2 x)) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.6

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + 0)$

Bước 3.7

Cộng $5 x^{4}$ và $0$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{5} e^{3 x^{2}} + 3 e^{3 x^{2}}) (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{5} e^{3 x^{2}} (6 x) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.3.3

Cộng $1$ và $5$ .

$x^{6} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.3.4

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{6} e^{3 x^{2}}$ .

$6 \cdot (x^{6} e^{3 x^{2}}) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.3.5

Nhân $6$ với $3$ .

$6 x^{6} e^{3 x^{2}} + 18 e^{3 x^{2}} x + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 e^{3 x^{2}} x^{6} + 18 e^{3 x^{2}} x + 5 e^{3 x^{2}} x^{4}$