Giải tích Ví dụ

$y = (2 x^{5} + 3) \cos (x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 2 x^{5} + 3$ và $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$(2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$(2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{5} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{5}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.6

Nhân $5$ với $2$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + 0)$

Bước 3.8

Cộng $10 x^{4}$ và $0$ .

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{5} (- 2 \sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 4 x^{5} (\sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 4 (x^{1} x^{5}) \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 4 x^{1 + 5} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4.2.4

Cộng $1$ và $5$ .

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4.2.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 \sin (x^{2}) x + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 x \sin (x^{2}) + 10 x^{4} \cos (x^{2})$